Esperamos les guste este blog, fue realizado con todo nuestro esfuerzo.

PROYECCIONES ORTOGONALES

Se denomina proyección ortogonal al sistema de representación que nos permite dibujar en diferentes planos  un objeto situado en el espacio.

Se llama proyección ortogonal de P sobre m al punto de intersección P’ entre la recta m y la recta perpendicular a m que pasa por P. Esa recta perpendicular se llama la proyectante de P sobre m.

NATURALEZA DE LA PROYECCIÓN ORTOGONAL

 Uno de los principales objetivos del Dibujo Técnico (específicamente el llamado “dibujo mecánico”) es la confección de planos de fabricación de piezas mecánicas de las más variadas formas. Para lograrlo se necesita representar gráficamente las distintas formas que dichas piezas presenten.

Una representación gráfica así no puede describir completamente el objeto, sin que importe desde que dirección se le mire, ya que no muestra las formas ni los tamaños exactos de las distintas partes. Con el fin de proporcionar esta información clara y precisa, se usan varias vistas sistemáticamente dispuestas.   Este sistema de vistas recibe el nombre de proyección ortogonal o proyección de vistas múltiples.

Para determinar la proyección ortogonal de una línea cualquiera sobre una recta, se deben buscar las proyecciones ortogonales de su origen y su extremo;  el segmento denominado por dichas proyecciones será la proyección de la línea original.  

La proyección ortogonal de una línea l sobre una recta m es la unión de todas las proyecciones ortogonales de cada uno de los puntos. Se analiza el grafico y se justifican los procedimientos usando definiciones de proyecciones ortogonal, de rectas perpendiculares y la propiedad de los cuadriláteros: los ángulos de  P’ y P’’ son rectos ya que son proyecciones ortogonales de P. el ángulo en X también es recto porque n y m son perpendiculares.

Como los cuadriláteros tienen la propiedad de que la suma de sus ángulos interiores es 360°, se deduce que el Angulo en P también mide 90°, por lo que todos los ángulos interiores de P’’ son rectos. En consecuencia, la figura es un rectángulo.

Proyecciones de un segmento sobre una recta

Proyectar un segmento sobre una recta dependerá dela posición del segmento con respecto a la recta

Si XY es paralelo a m, es decir, XY II m      

                        

Si PQ es perpendicular a m, es decir, PQ Ʇ m

Si AB no es ni paralelo ni perpendicular a m                                

Si CD intersecta a m

Ejemplo 1.

Trazar la proyección de AB sobre m y n.

•          Se trazan por A y B rectas perpendiculares a m para determinar el segmento PQ.
•      Se trazan por A y B rectas perpendiculares a n para hallar el segmento XY, y obtener la otra proyección buscada.
• 
  

Proyección de una figura sobre una recta.

La proyección de figuras planas, es decir, que tienen dos dimensiones: largo, ancho y origina proyecciones en una sola dimensión. Las proyecciones ortogonales de cuerpos, es decir, que tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto, son figuras planas; es iluminado por el sol. 

TRASLACIONES

Transformaciones en el plano:

Cuando una persona se desplaza desde una posición a otra, se dice que hizo una transformación en el espacio. Si se traslada un punto o una figura, se experimenta una transformación en el plano, es decir, es una función F que asigna a cada punto P del plano otro punto P', único, llamado de P.  Esta función es inyectiva es decir que cumple con que dos puntos distintos tienen imágenes distintas.

Alguna de las transformación del plano son: traslación, rotación y simetría, las cuales representan movimientos en el plano que conservan la forma y el tamaño de la figura.

Traslación:

Se puede hallar la imagen de un punto cualquiera a través de una traslación según un vector dado.  Para ello se traza un vector equipolente al lado, cuyo origen sea el punto.

Ejemplo: determina la imagen del punto P a traves de una traslación por el vector U.

Procedimiento:

1. Se traza un vector equipolente a U cuyo origen sea el punto P.
2. Se marca el punto P' que es la imagen de P.

En general, la imagen de un punto P, bajo una traslación con un vector U, es una transformación en el plano que asigna a cada punto P un unico punto P' tal que los vectores PP' y U sean equipolentes.  El vector U se denomina vector de traslación.

La traslación según el vector U se denota mediante Tu.  Por ejemplos, la expresión de Tu (P) = P' denota que P' es la imagen del punto P bajo la traslación Tu.

Traslación en el plano cartesiano
Para hallar la imagen de un punto M dado a un vector de traslación U, se traza un vector equipolente al vector U, partiendo de M el punto extremo del vector trazado es la imagen de M según Tu, es decir, es M'.  Por ejemplo, en el grafico la imagen del punto M (3,1) según el vector U es el punto M(4,2).

Tu (3,1) = (4,2)

Calculo de las coordenadas de la imagen de un punto según una traslación.
Para obtener las coordenadas de un punto, que es imagen de otro dado mediante un vector de traslación, se usa la propiedad que indica que las componentes de dos vectores equipolentes son iguales.

A continuación se muestra el punto P' (X',Y') como imagen de P (XY), que:

• X' - X = H => X' = H + X
• Y' - Y = K => Y' = K + Y

Dados unos puntos P (XY) y un vector U = (H K), Tu (XY) = (H + X K+Y).

Traslación de un segmento:
La imagen de un segmento, mediante un vector de traslación, se determina hallando las imágenes de los extremos del segmente a través del mismo vector y trazando el segmente que une las imágenes.  Por ejemplo, la traslación aplicada al segmente AB, a través de U es:

Los segmentos AB y A'B' son de igual medida y paralelos entre si.

Traslación de un angulo:
La imagen de un angulo por una traslación, es un angulo de igual medida al angulo dado, con sus lados respectivos paralelos entre si.  Para determinarla se hallan las imágenes del vértice y luego las imágenes de la semirrecta que conformar el angulo.  Por ejemplo, abajo se observa la imagen del angulo B bajo un vector de traslación U.

Traslación de un polígono:
La imagen de un polígono bajo cualquier traslación se determina hallando la imagen de cada uno de los lados que forman el polígono.  Para ello, se halla la imagen de los vértices que lo forman y luego se trazan los lados respectivos.  A continuación se observa la imagen del triangulo ABC, bajo la traslación según un vector U.

Traslación de una circunferencia:
Para hallar la imagen de una circunferencia de centro O y radio K, mediante un vector de traslación U, se hallan la imagen del centro O, a saber O', y la imagen de un punto cualquiera de la circunferencia, llamese A dicho punto y A' su imagen.  Como K = OA = O'A', se traza la circunferencia de centro O' y radio O'A'.  La imagen de la circunferencia inicial es la circunferencia de centro O' y del mismo radio K.

Composición de traslaciones:
Si a un punto se le aplica una traslación con vector U y a su imagen se le aplica una traslación de vector V, el punto obtenido es la imagen del punto inicial a través de una composición de traslaciones, es decir, si P' es la imagen del punto P bajo la traslación Tu y P'' es la imagen de P' bajo la traslación Tv, entonces P'' = Tu (P').  La composición de ambas traslaciones, se denota por Tv [Tu(P)].

Si se considera el vector U + V como vector de traslación, se puede trasladar el punto P al punto P'' directamente.  Por lo tanto, Tv[Tu(P)] = T(U+V) (P).

ROTACIONES

Los movimientos rotatorios:
Algunos elementos  de la naturaleza o algunos objetos, describen movimientos de rotación, bien sea en si mismo o con respecto a otro. por ejemplo. la luna con respecto a la tierra genera un movimiento de rotación, pues gira al rededor de ella, pero también la tierra en sí misma realiza el mismo movimiento.

Ángulos dirigidos:
Cuando se describe un movimiento de rotación se genera un ángulo. Por ejemplo, en un reloj podemos observar el ángulo &que describe el recorrido de la aguja el realizar el movimiento de rotación desde el 12 hasta el 10. el lado del ángulo en la posición 12 es la parte inicial y en el 10 es le final.

Rotación en el plano: 

si se tiene un punto 0 fijo en el plano y ángulo dirigido en &, la rotación de centro 0 y ángulo & de un punto P cualquiera es una transformación en el plano que asigna a P un punto único P' llamado imagen de P, tal que OP = OP', y la med<)POP')=&.

Para hallar la imagen de cualquier punto P del plano bajo un ángulo de rotación es preciso conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación. 

                                                                             

Simetría central:

La simetría central de un punto o figura es una rotación cuya amplitud es de 180°. Por ejemplo, a la derecha, se determinó la simetría central de centro 0 del punto A y la simetría central de centro M del punto B.

Rotación de segmentos:
La imagen de un segmento, bajo cualquier rotación, se determina hallando los puntos que son imagen de los extremos que forman el segmento, y luego trazando el segmento que une ambos puntos.

Un segmento y su imagen bajo una rotacion tienen igual longitud.  Por ello, los segmentos A'B' y AB tienen igual medida, pues A'B' es la imagen del segmento AB bajo la rotacipon de centro O y de amplitud &.

Los cubos de Rubik tienen un centro de rotación que permite girar las caras del cubo en cualquier dirección.

El cuadro A'B'C'D' es la imagen del cuadrado ABCD bajo la rotación de centro 0 y amplitud &.

Rotación de un polígono en el plano cartesiano.
Para hallar la imagen de un polígono en el plano cartesiano bajo una rotación, se determina la imagen de cada vértice y se hallas las coordenadas de los vértices de la imagen del polígono original.

Por ejemplo, el triangulo A'B'C con A´(0,-4), B´(2,0) y C(0,0), es la imagen del triangulo ABC con A(4,0), B(0,2) y C(0,0), según la rotación de centro C y ángulo -90°. En este caso C es un punto fijo, por lo que se halla solo la imagen de los otros dos puntos.

Determinación  del centro de rotación:
Conocer el centro de rotación de un objeto, resulta conveniente para calcular el movimiento que realizará el mismo. Por ejemplo, para que la rueda de un carro ruede a la perfección, el eje de la rueda debe ubicarse justo en el centro de rotación de lo contrario la rueda perdería estabilidad.
De igual manera, si se quiere determinar el centro de rotación de un segmento o polígono, se trazan segmentos que unan dos extremos o vértices y con las mediatrices  de esos segmentos se encuentra el centro de rotación.

Ejemplo: sea el triangulo X' Y' y Z' la imagen del triangulo XYZ bajo la rotación de centro y angulo de amplitud y sentidos desconocidos. ¿Cuál es el centro y el ángulo de rotación?

Procedimiento:

1. se trazan líneas que unan dos vértices con sus respectivas imágenes. En este caso se unió Y con Y' y Z con Z'.
   
    
2. Se dibujan las mediatrices de los segmentos trazados, se prolongan hasta que se cortan entre sí y se marca el punto de intersección el cual es el centro de rotación. 
   
3. Se une uno de los vértices y el de su imagen con el centro de rotación. en este caso, se unieron Y y Y' con el centro 0.
   
4. Se determina la amplitud y el sentido del ángulo. Para ello se mide con un transportador el ángulo y se observa hacia  que posición está el polígono inicial y hacia que lado quedo la imagen.

 SIMETRÍA

Muchos seres vivos, como por ejemplo las mariposas, tiene simetría su cuerpo. A la derecha se muestra el dibujo de una mariposa y de una recta S, en el cual se observa la simetría de esta.

                         

Existen varios tipos de simetría, entre ellas, la simetría axial.

Simetría Axial: es la transformación del plano o del espacio en la cual, a cada punto P’ llamado imagen de P de manera que p y p’ están a igual distancia de una recta llamada eje de simetría, y el segmento PP’ es perpendicular a dicho eje.

Imagen de simetría de un objeto

La imagen simétrica de un segmento, dado a un eje de simetría, se determina hallando la imagen de cada extremo del segmento, luego se traza el segmento que une ambas imágenes.

1.      Se trazan rectas perpendiculares a M por A y B. se marca el punto A’ tal que su distancia al eje M sea igual que la de M a A. de igual forma para B.

Se unen las imágenes A’ y B’, y el segmento A’B’ es la imagen simétrica del segmento AB, respecto al eje de simetría M

                                                     

                       

                                                    

IMAGEN SIMÉTRICA DE UN POLÍGONO Y DE UNA CIRCUNFERENCIA RESPECTO A UN EJE DE SIMETRÍA

La imagen simétrica de un polígono respecto a un eje de simetría se parece mucho a la imagen de un objeto reflejado en un espejo. Para determinarla se halla la imagen simétrica de cada uno de los vértices del polígono, de la misma forma como se determino la imagen simétrica de un segmento luego se unen.

1.      Se determinan las imágenes simétricas A’, B’, C’ y D’ de los puntos A, B, C y D respectivamente

 

                                               

’

2.      Se unen los puntos obtenidos para formar el polígono

                                    

Para trazar una imagen simétrica de una circunferencia se halla la imagen  de su centro respecto al eje y, luego, con el mismo radio, se dibuja la nueva circunferencia. A la derecha se muestra la imagen simétrica de la circunferencia de centro O y radio K, respecto a M.

Aquí dejamos un vídeo que les puede ayudar con la simetría Axial.

           

Realiza por: Samuel Ugarte y Angel Parra

Fuente: Matematica 2do. Año, Conexos-Santillana,  Bajo la dirección Pedagogica y editorial de la profesora Carmen Navarro.  Reimpresión 2014.